lurie的《高阶拓扑斯》到底写了些什么？

范畴论起始于二十世纪四十年代，由麦克莱恩与艾论伯格创建，其动机是为了定义代数拓扑中的自然变换。之后理论逐渐发展，它的作用越来越大，出乎原先的意料。

在这个过程中，有很多人的贡献，而格罗腾迪克最为显著。他将范畴论运用于代数几何，定义了概形，进行了代数几何的革命。在概形之后，又定义了拓扑斯的概念，这是两个极为重要的成果。此外，将范畴推广为无穷范畴、远阿贝尔几何、企图统一上同调理论的母理论……等等，都已经在他手中萌芽，只等着开花结果。

我们曾介绍过一些拓扑斯的后续发展，例如Olivia Caramello的分类拓扑斯统一数学，法尔庭斯、舒尔茨的工作与格罗腾迪克的渊源等等。而lurie在继承格罗腾迪克的工作上有所不同。如果说其他人的努力主要限于1-范畴或对应的1-拓扑斯的范围的话，lurie则往纵深推广1-范畴至（∞，1）范畴，将拓扑斯相应地推广到∞拓扑斯。

lurie的《高阶拓扑斯》，集中了他这方面最基础的工作，此后他还有《高阶代数》、《导出代数几何》等建立在这个基础上的一系列相应经典数学理论的推广。

要概括lurie《高阶拓扑斯》说了些什么，没有比他自己在这部书的前言中所写的更有说服力了。以下引自文心5.0给出的该书前言:

1 “本书的目的是奠定无穷范畴论的基础，并展示其在高阶拓扑斯中的应用”。

2 “范畴论由艾伦伯格和麦克莱恩引入，最初是为了给代数拓扑中的函子性概念提供一个统一的语言。然而，在随后的几十年里，范畴论的应用远远超出了其最初的拓扑学起源，渗透到了代数几何、表示论、逻辑以及理论计算机科学等领域。”

3 “……但它在处理同伦论时却显得力不从心，……经典的范畴论框架强制我们将弱等价视为同构，这导致了大量的信息丢失。”

4 “为了解决这个问题，丹尼尔.奎伦引入了模型范畴……然而，模型范畴也有其局限性”。

5 “……是否存在一种无穷范畴的理论，使得同伦论成为其内在的、无需额外结构（如模型结构）即可定义的性质？”

6 “……一个无穷范畴被定义为一个单纯集，它满足某种弱化的角填充条件，这种定义非常适合进行严格的数学处理，同时又能捕捉同伦论的所有本质特征。”

7 “本书主要内容……笫一部分:无穷范畴的基础；……笫二部分:高阶拓扑斯；……第三部分:应用与推广。”

8 “无穷范畴的思想可以追溯到格罗腾迪克的《追求堆栈》（Pursuing Stacks）和他对导出范畴（derived categories）的思考。格罗腾迪克曾设想过一种高阶算术几何，其中同伦论扮演着核心角色。本书在某种意义上是对格罗腾迪克这一愿景的实现。”

在主要内容部分lurie定义了无穷范畴，并将经典范畴论的有关概念推广到无穷的情形，建立了一个完整的体系。在这个基础上定义了无穷拓扑斯的概念，由之探讨了导出代数几何、稳定无穷范畴、拓扑量子场论与高阶范畴之间的联系。