邓煜菲尔兹奖，藏着1个牛B结论

邓煜的菲尔兹奖成果，藏着1个很牛B的结论：熵增定律的根源，竟然是数学结构！！需要先铺垫一些基础知识，你才能理解这个结论。

这篇文章是全网对邓煜菲尔兹奖成果，最系统、最深入的科普文章，会回答5个核心问题：

1. 什么是狭义的希尔伯特第6问题？

2. 邓煜是怎么证明这个问题的？

3. 时间箭头和熵增，是怎么从数学结构里面自己生长出来的？

4. 熵为什么只能增加，不能减少？

5. 邓煜的证明过程，有哪些前提条件和局限性？

第1个问题：什么是狭义的希尔伯特第6问题？

我们都知道，仅仅靠5条欧几里得公理，就能严格推导出一整套几何学大厦。于是希尔伯特在1900年提出一个设想，希望能用几条简单的公理，严格推导出全部物理方程。

他给出了一个具体的例子：希望用牛顿力学+概率论，严格推导出流体力学方程。具体来说，先从微观的牛顿力学出发，推导出介观的玻尔兹曼统计力学方程，最终推导出宏观的流体力学方程。

什么是微观、介观和宏观呢？对于空气来说，微观大约是10???米，介观大约是10??米，宏观大约是10??米。也就是说，同一盒空气，在3个不同尺度，用了3种不同的理论来描述。

希尔伯特希望从牛顿力学出发，把后面这俩方程严格推导出来，这就是狭义的希尔伯特第6问题。

但是，推导过程有3大难点。

第2部分：3大难点

第1个难点：，牛顿力学里面，用-t去取代t，牛顿力学方程不变，所以牛顿力学是时间可逆的理论。

你把碰撞录像正着放、倒着放，都完全符合牛顿定律，所以牛顿力学本身不偏好任何时间方向。

但是，后面这俩方程就不一样了。用-t去取代t，玻尔兹曼方程里面Q会变成-Q：

流体力学里面黏性项 会从正号变成负号：

因此这俩方程都是时间不可逆。一滴墨水滴进水里会不断扩散，倒放这个过程是不成立的，它的数学根源就是上面这个流体力学方程时间不可逆。

于是问题出现了：一个时间可逆的底层理论，怎么能严格推出时间不可逆的宏观方程？

第2个难点：牛顿力学里面Gibbs熵保持不变(或者说没有熵)，但是，玻尔兹曼方程和流体方程里面有熵增。这凭空多出来的熵增，到底是哪来的？

第3个难点：后面俩方程为什么非要是熵增，而不是熵减？

这就是希尔伯特第6问题最核心、也最难啃的3个难题。

我们先铺垫一些基础知识，一会给出这3个难题答案。

第3部分：邓煜拿下菲尔兹奖最核心的贡献

因为从玻尔兹曼方程到流体力学方程，都是不可逆、都是熵增，所以推导相对比较简单，早有几位科学家完成了。最难的，是从牛顿力学推导出玻尔兹曼方程。

第一个重大突破是1975年，美国数学家兰福德证明了：只有在极短的时间窗口内，才能从牛顿力学推导出玻尔兹曼方程。有多短呢？大约是粒子发生首次碰撞所花时间的五分之一。对于空气分子来说，这个时间大约是10???秒。

换句话说，兰福德只证明了10???秒之内，能从玻尔兹曼方程到流体力学方程；一旦超过这个时间，会出现大量发散项，兰福德的证明方法就会失效。

这个问题从1975年开始，一直都没什么重要的进展。直到2025年，邓煜等三个人发表了一篇192页的论文，直接把有效时间从10???方秒，拉到了任意长时间——1秒、1年、1亿年，全都成立。

从10???秒，一下子提高到了任意长时间，这就是邓煜拿下菲尔兹奖最核心的原因。

第4部分：树状结构和环状结构

我们来看看邓煜是怎么证明的。

他把牛顿力学下的小球碰撞，分成了两大类：树状结构碰撞和环状结构碰撞。什么是树状？什么是环状？我举个例子说明一下。

一个小球的位置 速度，会受过去所有碰撞过它的小球影响：这样就形成了一个碰撞链：

碰撞链上的每个小球，也有自己的碰撞链，于是就形成了一张巨大的碰撞网：

现在，1号球和20号球都有一张碰撞网：

假如这两个小球现在相碰撞，如果两张网之间有重复的数字节点，比如说都出现了21号球，那么这次碰撞就是环状连接。如果这两张网没有任何一个重复数字，那么就是树状连接。简单理解，树状是陌生人相撞，而且祖上也是陌生人；环状是熟人相撞，或者祖上是熟人。

提前剧透一句：时间箭头和熵增，正是从环状结构和树状结构里自己生长出来的，一会儿再详细解释。

邓煜的证明思路就是，每一次碰撞，都先给它定性：这是树状碰撞，还是环状碰撞。并且证明出一个定理。听好了，这是这个菲尔兹奖最核心的一个定理：

假如N是小球总个数，ε是小球直径，只要满足Nε?=常数，并且N趋向无穷大，那么环状碰撞对玻尔兹曼方程的总贡献，会趋向于0；最终，玻尔兹曼方程里，只剩下纯粹的树状碰撞信息。

我用人话翻译一下这个定理，在牛顿力学的微观层面，同时存在树状和环状两类碰撞信息；可是一旦到了后面俩方程的层面，环状碰撞信息就被彻底筛选掉了，只留下了树状碰撞信息。

本质上，这是一次剧烈的信息压缩。我举个例子，有1万个空气分子，在牛顿力学里面，因为每个分子都有速度，所以有1万条速度信息，V1=198米/秒, V2=203米/秒,……, V9999=208米/秒, V10000=191米/秒。到了玻尔兹曼方程里面，我们把它简化成了“速度的概率密度分布”，比如说速度198概率11%、速度205概率5%。再到流体力学方程，更干脆，直接简化成平均速度=200米每秒。

从1万条牛顿微观信息，压缩到几条分布信息，最后压缩成1条流体力学信息。所以，牛顿力学的信息量，要远远大于后面这俩方程的信息量。刚才说了，牛顿力学里树状、环状信息都有；到了这俩方程里，就只剩树状信息，环状信息全丢失了。

补充说一句：环状信息不是凭空消失了，它一直都在微观层面存在，只是不进入这俩方程而已。

第5部分：邓煜的证明方法

这个定理，邓煜是怎么证明出来的呢？

他发明了一套“图形切割算法”，把所有盘根错节的碰撞轨迹图，拆成了4类基础结构。

这里面有“好结构”，也有“坏结构”。好结构的效果压制了坏结构的效果，最终好结构和坏结构的总贡献趋向于0。

非常有意思的是，邓煜自己爆料，这个证明最初的灵感，来源于2021年他在韩式餐厅吃炸鸡的时候，忽然灵光乍现，发现这里存在着一种神奇的抵消性。再后来他才意识到，这其实给出了波动力学方程WKE的时间箭头。

下面图片是邓煜在某平台自己写的内容：

这个故事告诉我们一个道理：做不出数学难题怎么办？就去吃炸鸡啊！炸鸡说不定能给你带来数学灵感！

第6部分：邓煜证明的局限性

接下来我们聊聊，为什么需要Nε?=常数，以及邓煜的证明有哪些局限性?

其实，邓煜证明过程用到了很多非常理想化的前提条件。

第1个前提条件：粒子必须是刚性硬球。两个球一碰到就立刻弹开，速度马上改变，不能是软球，只能是硬球。粒子的形状必须是标准的球形，不能是水分子那种不规则形状。

第2个前提条件：不考虑任何长程力。什么是长程力呢？就是那种不用碰到也能产生作用的力，比如引力、电荷之间电磁力。所以，小球之间不能有引力，小球也不能带电荷。

第3个前提条件，也是最核心的一个条件。假如N是小球的总个数、ε是小球直径，那么Nε?必须等于一个常数，并且小球总数N要趋向于无穷大。

为什么要定这么奇怪的前提条件呢？因为玻尔兹曼方程成立的前提是，碰撞次数不能太多，也不能太少。

要是Nε?=常数，对应的就是水、油这种高密度液体，粒子碰撞太频繁，玻尔兹曼方程不成立；

要是Nε=常数，对应的就是星际空间的超稀薄气体，粒子几乎碰不着，也不行。

所以最终定了Nε?=常数，正好对应于空气这类稀薄气体。

也就是说，邓煜这篇论文的结论，主要适用于空气一样的稀薄气体，不适用于液体和星际气体。

第4个前提条件，t=0时，粒子互相(近似)独立。什么是互相独立呢？知道A粒子在哪里、速度有多快，并不能帮助我们预测B粒子在哪里、速度有多快，AB俩粒子完全独立。提前剧透一句：这个条件，是决定熵增还是熵减的根源，一会仔细讲。

看了这么多前提条件，估计有人会想起物理学的经典梗：假设真空中存在一只球形鸡。

没错，邓煜这篇论文，是一个极致理想化、高度简化的推导模型。一会我们讲时间和熵的时候，都默认使用这4个前提条件。

好了，前面铺垫了这么多基础知识，终于到了这篇文章最精彩的一部分。

第7部分：时间箭头和熵增，是怎么从数学结构里涌现出来的？

邓煜把所有碰撞分成树状和环状两类，又证明了环状碰撞对玻尔兹曼方程的贡献趋向于0，所以玻尔兹曼方程里最终只剩下树状结构信息。而玻尔兹曼方程里自带一个H函数，正是这个函数定义了熵增。逻辑链条如下图：

初始独立+环丢失+只留树 → 玻尔兹曼方程 → H函数 → 熵增

所以结论很明确：熵增归根到底来源于粒子初始互相独立和树状结构。

刚才讲的太专业了，我再说一个通俗易懂的版本。

在统计物理里面，熵增等价于信息丢失。

我举个例子，1滴墨水滴入大海，最后扩散到整片大海里面，这是一个典型的熵增过程。最开始墨水是聚集的，所以我们知道墨水分子大概的精确位置，墨水扩散后，墨水分子到处都有，因此我们丢失了墨水分子的精确位置信息。也就是说，丢失精确位置信息等价于墨水扩散，进而等价于熵增，因此，信息丢失和熵增是等价的。

牛顿力学有树状信息+环状信息，没有丢失信息，所以牛顿力学熵保持不变。后面这俩方程，由于丢失了环状信息，而丢失信息等价于熵增，因此这俩方程里面就出现了熵增！！！于是我们成功解释了，宏观世界为什么会出现了熵增！

第8部分：为什么一定是熵增，而不是熵减呢？

核心就出在“粒子互相独立”这个前提条件上。

假如在t=0的时候，系统处于“粒子互相独立+非平衡态”，那么数学结构会强迫这个系统熵增加。

反过来，假如在t=无穷大的时候，系统处于“粒子互相独立+非平衡态”，那么数学结构就会强迫这个系统熵减少。

说白了，“粒子互相独立+非平衡态”是一个非常特殊的边界条件：放在起点就熵增；放到终点就熵减。邓煜在证明里，把这个条件放在了起点 t=0，所以自然得到了一个熵增的系统。

我给你举1个非常直观的例子，看看熵增和时间箭头是怎么出现的。

假如在一个平面上有1亿个刚性小球，在t=0的时候，所有小球互相独立，每个小球都有自己的初始速度；而且此时小球还没完全混合均匀，处于非平衡状态。

接下来让它们自由碰撞。你会神奇地发现：这个系统会自然而然地产生熵增，也就是出现了宏观的时间箭头。

不需要加任何额外的物理定律，只靠粒子碰撞和数学统计，熵增和时间箭头自己就生长出来了。因此，熵增不是物理法则，而是数学统计规律，它来源于树状结构、环状结构和初始独立结构。

所以邓煜这项工作最厉害的地方，就是用极其严格的数学推理，让我们清清楚楚地看到：时间箭头和熵增，早就刻在了大自然粒子碰撞的数学结构里。

最后，我想预测一下2030年的菲尔兹奖获得者：

你觉得这4位哪个获奖的概率最低？请在评论区告诉我你的答案。