抛了35万次硬币后：概率论不存在了？

我们常会反复纠结某个问题而难以迅速作出决定，比如，今晚吃炸酱面还是麦当劳；又比如，要不要接受某个工作机会；或者是今晚要不要去跟TA表白……

图片来源：Giphy

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这时，很多人会抛个硬币，用硬币的正反面替自己做出选择。

甚至在一些重大场合，人们也常用抛硬币来做重要决定，比如世界杯球赛中，裁判员会通过抛硬币决定哪只队伍先开球。

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初中数学课本告诉我们，抛一枚质地均匀的硬币，得到正反面的概率相等。因此，人们认为硬币替自己做出的选择一定是公正的，没有私心的。

不少数学家也做过实验证明，当抛硬币次数足够多时，得到正反面的频次接近1:1，包括曾抛了2万多次硬币的数理统计学创始者卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）。

但如果我现在告诉你，抛硬币得到两面向上的概率其实不相等，你又怎么看？

抛了350 757次，总耗时约20个小时。然后他们发现，抛出的硬币落下后，向上的那一面和硬币抛出前的初始面相同的概率略高，约为51%。

他们就这样抛了20个小时的硬币（来源：Coin Tossing Team via YouTube）

也就是说，假如你将硬币抛离手中时，它是正面向上，那最终硬币落下时，其正面向上的概率更高，反之亦然。

他们还发现，一些人抛硬币得到和起始面相同的那一面的概率更高；而另一些人则更接近理论值，即得到两面的概率都是50%。他们将这项研究发表了在预印本网站arXiv上，还未经同行评审。

很显然，这说明，特定的抛硬币方式，或许可以让特定面向上的概率更高。

那么，有没有可能通过练习，让抛出去的硬币落下时，永远是自己想要的那一面向上呢？

理论上是可以的。

数学家佩尔西?戴康尼斯（Persi Diaconis）在成为美国斯坦福大学的数学和统计学教授之前，曾做过魔术师。他经常研究与“赌博”相关的数学，比如如何洗牌、如何掷骰子，当然也包括如何抛硬币。

热衷于纸牌、骰子、轮盘等的斯坦福数学家佩尔西?戴康尼斯（图片来源：Stanford University）

早在2007年，戴康尼斯和他的团队就在论文中展示了一个抛硬币装置，这个装置将硬币抛出后落到指定位置，最终硬币向上的那一面在100%的情况下都与它的起始面相同。

戴康尼斯和同事做出的抛硬币装置，抛出的硬币能100%得到与起始面相同的那一面（Diaconis et al, 2007）

而人类在用手抛硬币时，也可以达到这样的效果，比如一些魔术师就可以通过一些技巧控制抛硬币的结果。

魔术师能控制抛硬币的结果（来源：SCAM NATION via youtube）

其实如果掌握了原理，多加练习，你也可以做到。所以我们就先来学习一下原理，然后大家回家自己练习。

首先我们需要知道，标准情况下，抛向空中的硬币是怎样运动的。

忽略空气阻力的影响，当我们将硬币抛向空中，硬币会沿着一个位于硬币平面且平行于地面的“轴”，做翻转运动。学过物理的朋友们可以很快反应过来，这个“轴”正好是硬币旋转的角动量（angular momentum）所在的直线。

来源：Numberphile via YouTube

来源：Numberphile via YouTube，制图：冬鸢

然后我们用一点简单的中学物理来分析一下硬币的运动。

然后我们用一点简单的中学物理来分析一下硬币的运动。

假设硬币以初速度vz从距地面高度z0的手中被抛出，t秒后落回到手上，那么通过z0 + tvz ? (g/2)(t)2 = z0可以计算出t = vz/(g/2)。

假设硬币在空中每秒翻转ω次。在抛出硬币到硬币回到手上的过程中，如果硬币翻转了偶数次（即2j

图片来源：Diaconis et al, 2007

最终可以算出，如果硬币的起始面为正面，那么硬币落回手上时正面向上的概率与ψ的关系是：

用图像表示就是

图片来源：Diaconis et al, 2007

由此可以直观地看到，在硬币初始面为正面时，只有当ψ为直角，硬币落下时正面朝上的概率才是1/2，其余情况下都大于1/2。

而当ψ小于45°时，硬币虽然也在旋转，但实际上整个过程中，并没有翻转到另一面。因此，在这种情况下，不论硬币抛得有多高，最终落下来时依然是和抛出时保持相同的一面向上——这便是抛硬币魔术师所使用的手法。

魔术师抛出的硬币在空中没有翻转至另一面（来源：SCAM NATION via YouTube）

而当ψ为0°时，硬币甚至可以没有竖直方向的翻转，完全直上直下。

来源：Numberphile via YouTube

事实上，这种运动方式在我们生活中非常常见，比较典型的，就是我们的地球。地球在自转的同时，赤道平面的法线也在绕一个轴转动：

看这地球的旋转像不像正在翻转的硬币？（来源：Steven Sanders via youtube）

总结一下就是，因为很多人抛出的硬币在空中翻转时存在进动，导致在给定硬币初始面的情况下，会使得最终硬币落回手上时，正反面向上的概率不相等。

不过，由于大多数人抛硬币的时候，不会关注硬币的起始面。因此，在起始面随机的前提下，抛硬币的最终结果，正反面概率仍然是1:1（预印本论文中有证明过程）。

所以，以后如果和别人抛硬币打赌，你可以练一练上面教的抛硬币技巧来“作弊”；如果是别人抛硬币，那就让他不要用手接，让硬币直接掉地上，因为这会使硬币再弹起来，到空中再翻转几圈，使结果更加随机。

硬币掉在地上之后再弹起来（来源：Numberphile via YouTube）