邓煜跨越的尺度鸿沟及其意义

2026年国际数学家大会（ICM）上，中国籍数学家邓煜荣获菲尔兹奖。国际数学联盟对他的正式评价是：他在偏微分方程领域作出了突破性贡献，包括从稀薄气体的硬球动力学严格推导玻尔兹曼方程（Boltzmann equation）、从非线性色散系统推导波动动力学方程，以及发展非线性薛定谔方程（Schr?dinger equation）的概率方法。

这些名词听起来比挂谷猜想更加抽象，但它们实际上都围绕着一个极其根本的问题：我们能否从无数微小蚌体的运动，严格推导出整个宏观世界的运行规律？气体由无数分子组成，海浪由大量微小波动叠加而成，流体看起来连续，底层却是无数粒子的碰撞。我们每天使用的温度、压力、速度、密度等宏观概念，究竟如何从微观粒子的运动中产生？邓煜的工作，就是在这些不同尺度之间，建立一条严密的数学桥梁。

一个困扰科学两百年的问题

设想房间里有一团气体。从微观上看，它由数量惊人的分子组成。每个分子都在高速运动，与其他分子不断碰撞，也会撞击墙壁。如果知道每个分子的位置和速度，理论上可以用牛顿运动定律描述它们。但现实中，哪怕只是一小团空气，分子数量也大得无法逐一追踪。因此，科学家必须换一种描述方式。

在日常生活中，我们不再询问每个分子的运动，而是谈论气体的温度是多少？压力是多少？整体向哪个方向流动？这就产生了三个不同的尺度。

微观尺度：研究每一个粒子怎样运动和碰撞。

介观尺度：研究大量粒子的统计分布。

宏观尺度：把气体或液体看作连续流体，研究温度、密度、压力和速度。

它们看起来都在描述同一种物质，但使用的方程完全不同。

真正的问题是，这些宏观和统计方程，能不能从最底层的粒子运动中一步步严格推导出来？

希尔伯特第六问题

1900年，德国数学家希尔伯特提出了著名的23个数学问题。其中第六个问题要求数学家为物理学建立严格的数学基础，尤其要解释统计物理和流体力学的规律，如何从更基本的粒子运动中产生。

以气体为例，这条理论链大致是：牛顿力学 → 玻尔兹曼方程 → 欧拉方程、纳维—斯托克斯方程等流体方程。牛顿方程描述单个粒子；玻尔兹曼方程不再追踪每一个粒子，而是描述在某个时间、某个位置，具有某种速度的粒子大约有多少；流体方程则进一步忽略单个粒子的细节，只描述宏观的温度、压力、密度和流速。

从玻尔兹曼方程推导宏观流体方程的道路，经过长期研究，已经得到较深入的理解。但从无数粒子的真实碰撞，严格推导玻尔兹曼方程，一直难以解决。

玻尔兹曼方程究竟是什么？

假设我们不再记录每一个分子的姓名、位置和速度，而是研究一个统计分布：在某个位置附近，朝某个方向运动，速度大约是多少的粒子，究竟有多少？这个分布会随着时间不断变化。粒子会飞到其他地方，也会与其他粒子碰撞，从而改变速度和方向。玻尔兹曼方程，就是描述这种统计分布如何演化的方程。它把极其复杂的粒子世界压缩成一个宏观可处理的数学模型。

这套理论解释了许多重要现象，例如：气体为什么趋向热平衡；温度和压力怎样产生；能量怎样在分子之间传递；气体怎样扩散和流动。

但是，玻尔兹曼方程长期以来主要被认为是一个极其成功的物理模型。数学家真正想证明的是，它是否确实能够从最底层的粒子碰撞规律中严格产生，而不仅仅是物理学家的合理近似？

兰福德走出的第一步

1975年，数学家奥斯卡·兰福德（Oscar E. Lanford III）取得了重大突破。他证明，在一种极限条件下，可以从大量硬球粒子的运动推导出玻尔兹曼方程。所谓硬球，可以把它们想象成大量极小的台球；它们自由运动，彼此碰撞，但不会重叠。

兰福德的工作第一次在严格数学意义上连接了微观粒子动力学与玻尔兹曼方程，但它有一个严重限制，只能处理非常短的时间。为什么？因为时间一长，每个粒子可能经历多次碰撞。一次碰撞以后，粒子的运动会影响下一次碰撞；下一次碰撞又会继续影响后面更多粒子。整个系统很快形成一个极其庞大的碰撞网络。

数学家必须排除一些危险情况，例如，两个粒子碰撞以后绕了一圈，又重新相遇；多次碰撞形成复杂关联；原本近似独立的粒子逐渐产生长程依赖。这些微小的关联不断积累，最后可能破坏玻尔兹曼方程所依赖的统计独立性。

因此，过去的证明往往只能在“系统刚刚开始演化”的极短时间内成立。

邓煜突破了什么？

邓煜与Zaher Hani、肖马合作，建立了一套新的分析框架，把很长的演化时间切分成许多较短的阶段，并控制不同阶段之间不断增加的碰撞关联。

听起来似乎只是“把大问题分成小问题”。但真正的困难恰恰在于，每切分一次，可能的碰撞历史都会急剧增加。随着时间延长，碰撞图会像树枝一样不断分叉，形成数量巨大、结构复杂的组合。如果逐项计算，很快就会陷入无法控制的爆炸。

邓煜及其合作者发展了新的组合方法、概率方法和多尺度估计，对这些极其庞大的碰撞结构进行分类、压缩和控制，最终把玻尔兹曼方程的有效时间从过去的极短时间大幅延伸出去。

2025年，他们完成了从稀薄气体硬球动力学严格推导玻尔兹曼方程的重大突破。这项成果被认为是希尔伯特第六问题相关方向上的一次跨越。

从粒子到流体的完整链条

邓煜团队随后进一步把这一结果，与此前从玻尔兹曼方程推导宏观流体方程的理论衔接起来。于是，在相应的数学条件下，一条长期追求的逻辑链变得更加完整：无数硬球粒子遵循牛顿运动定律 → 粒子数量趋于无穷、尺寸趋于零 → 形成玻尔兹曼统计动力学 → 进一步产生宏观流体方程

换句话说，人们日常观察到的气体压力、温度和流动，并不是与分子世界无关的另一套规律。它们可以被理解为，大量微观粒子经过长期碰撞以后，集体涌现出来的宏观秩序。

相关科普介绍认为，邓煜及其合作者的工作在特定框架下完成了希尔伯特所期待的从微观到宏观的理论通道。

真正困难的是“涌现”

邓煜工作的深层意义，不只是证明了一条具体方程。它触及了现代科学最重要的问题之一：宏观规律怎样从微观个体中涌现？单个水分子并没有“温度”；单个空气分子也没有“气压”。温度、压力、黏性和流体运动，都是大量粒子共同作用以后才出现的集体性质，这在物理学中被称为涌现。

我们知道每个粒子遵循牛顿定律，却不能简单地把亿万个牛顿方程加起来，就立刻得到天气、气流或海浪。微观世界与宏观世界之间，隔着极其复杂的统计过程。邓煜的工作证明，在某些重要模型中，这道鸿沟是可以用严格数学跨越的。

不只是气体，还有波

邓煜获得菲尔兹奖，并不只因为玻尔兹曼方程。国际数学联盟还特别提到，他从非线性色散系统推导波动动力学方程，以及在非线性薛定谔动力学中发展概率方法。这两类工作与气体问题有一个共同主题：系统底层包含数量巨大的粒子或波。它们相互作用，看起来杂乱无章。但经过足够长时间以后，可能出现稳定的统计规律。例如海洋中的波浪，看起来由无数不同方向、不同频率的波叠加而成。每一束波都会与其他波发生非线性作用。直接追踪所有波几乎不可能，因此，物理学家使用波动动力学方程，描述波能量如何在不同频率之间传递。

邓煜研究的核心问题仍然是，这样的统计方程，能否从底层的非线性波动方程中严格推导出来？他的工作把粒子系统、波湍流和随机偏微分方程连接起来，形成了一套研究“微观无序如何产生宏观规律”的统一思想。

随机性不是误差，而是工具

传统数学常常追求精确初始条件。只要知道系统起点，就希望准确预测以后的一切。但真实世界往往极其复杂。我们不可能知道每一个空气分子的速度，也不可能准确测量海面上每一个微小波动。

于是，邓煜等数学家采取了另一种思路，不要求精确知道每一个细节，而是给初始状态加入适当的随机结构，然后研究绝大多数初始状态会怎样演化。这并不是放弃严密性。恰恰相反，概率方法有时可以揭示确定性方程中隐藏的稳定结构。

邓煜的重要贡献之一，就是把概率的灵活性引入高度刚性的偏微分方程，研究随机性如何在复杂波动系统中传播，以及宏观规律如何从中产生。相关报道将其工作概括为把概率的灵活性带入波动方程的严格结构。

为什么数学界如此重视？

因为邓煜解决的不是一个孤立技巧，而是一类跨尺度问题。现代科学经常面对相同的结构：大量微观个体 → 复杂相互作用 → 统计规律 → 宏观行为。气体如此，流体如此，波浪如此，等离子体如此，许多量子系统也是如此。不同领域的具体方程不同，但背后的问题相同：怎样从底层复杂运动，严格推出上层简洁规律？

邓煜发展的方法，有可能继续影响动力学理论；流体力学；波湍流；非线性色散方程；随机偏微分方程；统计物理；数学物理。

因此，菲尔兹奖奖励的不只是一个结果，而是他建立的一整套跨越微观、介观和宏观尺度的方法体系。

它会立刻改变天气预报或飞机设计吗？

不会。现实中的飞机、汽车、船舶、气象模型和工业流体计算，目前仍然主要依赖成熟的计算流体力学方法。邓煜的成果不会让现有工程软件第二天突然升级，也不会直接解决所有湍流问题。相关介绍也明确指出，这项工作目前首先属于理论突破，工程领域仍会继续使用成熟的数值计算方法。

但基础理论的意义，并不在于马上替代工程算法，它首先回答的是，我们今天使用的方程，为什么成立？它们在什么条件下成立？在哪些尺度和时间范围内可信？何时可能失效？

一旦这些问题被理解得更清楚，未来可能带来更可靠的模型、更准确的近似以及新的数值方法。

数学发展的路径往往是：基本原理 → 严格理论 → 新的近似模型 → 数值算法 → 工程技术

这条道路可能需要几十年。

与王虹的工作有什么不同？

王虹研究的核心，是不同方向的几何结构和波包怎样重叠。邓煜研究的核心，则是大量粒子或波在长时间相互作用后，怎样形成稳定的统计规律。一个更接近空间中的“方向结构”；一个更接近时间演化中的“尺度涌现”。

但两人的研究又有共同之处：都面对数量巨大、结构复杂、看似无法控制的对象；都没有简单地逐项计算；都通过新的多尺度、组合和概率方法，从复杂性中找到了隐藏秩序。

王虹证明，一组看似可以无限挤压的线段，最终仍必须保持三维结构。邓煜证明，一群看似杂乱无章的粒子，在适当极限下可以产生清晰的统计方程和宏观规律。

一个揭示空间中的秩序；一个揭示演化中的秩序。

菲尔茨奖奖励的，是从混乱中发现规律

数学史上，许多重大突破都在做同一件事：从表面混乱中，找出背后的简单规律。牛顿把天体与地面物体统一在同一套力学中；玻尔兹曼把分子的无序碰撞与温度、熵联系起来；傅里叶把复杂波形分解为简单频率；邓煜则进一步回答，这些统计方程和宏观规律，怎样从底层粒子与波的真实运动中严格产生。

因此，邓煜获奖的意义，不只是“解决了希尔伯特第六问题的一个分支”，也不只是完成了一篇很长、很难的证明。更重要的是，他帮助数学向一个古老而根本的目标迈出了重要一步：把微观世界与宏观世界连接起来，把物理直觉变成严格证明，把看似无序的复杂系统还原成可以理解的数学秩序。

王虹告诉我们，极端压缩之中仍然隐藏着完整的空间维度；邓煜告诉我们，无数粒子和波的混乱运动之中，也能够涌现出简洁而稳定的宏观法则。

这正是数学最深刻的力量：它不仅描述世界，还解释一个世界如何从另一个世界中产生。