丘成桐：中国学者少有注意基本哲学

明朝初年，欧洲文艺复兴之时，在科学界一个极为重要的问题，就是求解三次和四次方程式。这看来是小事，却是数学家第一次理解到复数的重要性。我们来看二次方程：x2 + 1= 0。很明显，只要x是实数，方程左边一定大于零，所以方程无解。

对中国古代数学家来说，似乎没有理由去继续讨论这种没有解的方程。但是欧洲数学家追求数的完美性质，就假定上面这个二次方程有一个非实数的解，称之为虚数，同时要求这个虚数和普通实数混合在一起，同样做加减乘除，得到所谓复数域。他们因此得到一个奇妙和惊人的发现：虽然有的多项式没有实数解，但是所有多项式都有复数解，同时解的个数刚好是多项式的次数。

从方程的角度来说，这个复数域是完美的，也是古希腊哲学家所乐见的。很多中国古代数学家大概认为我只想知道现实界的解，不想研究这种虚无的复数域。但是欧洲数学家发现在研究自然界的数学现象时，复数域不但会增强我们理解实数的能力，它已经成为数学的本体。

欧拉用复数来解释三角函数，傅里叶用它来解释波动现象。在数论中，高斯、黎曼和之后的学者，广泛应用复函数和复数域深入研究素数的性质。事实上，用一句简单但不算夸张的话，中国古代数学，甚至可以说中国古代科学，落后于西方的一个因素始于复数理论在西方的萌芽。

要求数学体系或者其他科学体系完备化的想法，根植于希腊哲学，影响到今日数学的发展。韦伊和格罗滕迪克建立了一套完备的代数几何结构，初看时，极度玄虚，结果却极大地推动了数论和几何的研究。这是一个追求完美而有大成就的极好例子。我的老师陈省身先生刚开始研究示性类时，想解释苏联数学家庞特里亚金在实纤维丛的工作。结果发现在复纤维丛时，理论更加完美，完成了陈氏类的工作。从这点就可以看出追求完美的哲学观点的重要性。

中国学者少有注意数学发展的历史和支持数学的基本哲学，大部分萧规曹随，解决一些问题而已。但是理论如何叫作完美？它有它的客观性，也有它的主观性。很多学者发展了一套长篇的理论，看似漂亮，却是越来越玄虚，结果无以为继。这是和自然界的真与美愈来愈脱节的缘故。当年我和我的朋友们发展几何分析，就坚持我们必须要有理论，要有长远的看法。但是在这个基础上，我们的理论必须要有能力来解决具体的问题。一般来说，这些问题必须是自然界产生的问题。